Até agora, a integral tem sido nossa ferramenta para medir o espaço entre uma única curva e o solo fixo do eixo x. Mas e se o próprio chão estiver se movendo? Nesta lição, transcenderemos o eixo e aprenderemos a calcular a área de regiões delimitadas por duas fronteiras funcionais independentes, $f(x)$ e $g(x)$.
A Geometria das Diferenças
Para encontrar a área $A$ de uma região $S$ limitada por $y = f(x)$ e $y = g(x)$ entre $x = a$ e $x = b$, utilizamos a mesma lógica da soma de Riemann que fundamentou o cálculo.
Extensão de Riemann
Dividimos a região em $n$ faixas verticais. Se $x_i^*$ é um ponto amostral no $i$-ésimo intervalo, a altura do retângulo aproximador não é apenas $f(x_i^*)$, mas a diferença entre as alturas das curvas superior e inferior:
$$h = f(x_i^*) - g(x_i^*)$$
Da Soma à Integração
À medida que aumentamos o número de faixas até o infinito ($n \to \infty$), a soma dessas áreas retangulares converge para a integral definida:
Fórmula Central:
$$A = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} [f(x_i^*) - g(x_i^*)] \Delta x = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx$$
onde $\Delta x = \frac{b-a}{n}$.
Regra da Diferença Absoluta
E se as curvas se cruzarem? Se integramos simplesmente $f-g$ enquanto $g$ está realmente acima de $f$, obteremos um resultado negativo. Para garantir que sempre calculemos a magnitude da área, usamos o valor absoluto:
$$A = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx$$
🎯 Teorema da Fórmula da Área
Se $f$ e $g$ forem funções contínuas e $f(x) \ge g(x)$ para todo $x$ no intervalo $[a, b]$, a área $A$ da região limitada por $y = f(x)$, $y = g(x)$, $x = a$ e $x = b$ é:
$$A = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx$$
Exemplo 1: Exponencial versus Linear
Encontre a área limitada acima por $y = e^x$, abaixo por $y = x$, de $x = 0$ até $x = 1$.
$$A = \int_0^1 (e^x - x) dx = [e^x - \frac{1}{2}x^2]_0^1 = (e - \frac{1}{2}) - (e^0 - 0) = e - 1.5 \approx 1.218$$